几何中的应用问题
1。构形空间，非平凡构性空间的例子，平面摆与三维摆，二级复合摆，绕固定点运动的刚体。
2。相空间，例子。
3。切流形。
4。变分问题，欧拉方程。
5。辛空间与辛流形的定义。
6。辛空间上的辛形式，它的性质。
7。Hamilton函数，Hamilton方程组。
8。函数的斜导数，Poisson括号。
9。首次积分。
10。向量场及其平面分布。
11。Frobenius定理，复形式。
12。化辛形式为标准型，Darboux定理。
13。交换向量场与微分同胚群。
14。辛流形上微分同胚群的有限李代数。
15。首次与对称积分的Netter定理。
16。完全可积Hamilton系统的Liouville定理。
17。非交换情形的完全可积系统。
18。刚体动力学的可积性。
19。流形上的微分算子的概念。
20。流形上的拟微分算子。
21。Sobolev空间上的拟微分算子与Sobolev准则。
22。关于Sobolev空间的紧致性的Sobolev定理。
23。Fredholm算子与紧算子。
24。Fredholm算子的指标及其性质。
25。Fredholm择一定理。
26。向量丛与椭圆算子。
27。Atiyah——Singer指标定理。
1，M.Hirsh，Differential Topology，Springer，1976。
2，R.Thom，微分流形的一些整体性质，载入“纤维空间及其应用”一书，莫斯科外文出版社，1958。
3，V.V.Trofimov、A.T.Fomenko，可积哈密顿微分方程的代数与几何，法克特里亚出版社，1995。
4，V.I.Arnold、V.V.Kozlov、A.I.Neyshtadt，经典力学与天体力学中的数学论题，苏联科技情报研究所，1985。
5，A.S.Mishchenko，纤维丛及其应用，科学出版社，1984。
有理奇点
1，态射，Grothendieck对偶。
2，Grauert-Riemenschneider定理。
3，有理奇点的判定，Kempfa与Kovacs判据。
4，Elkik定理。
5，平坦态射，有理形式环绕点的奇点性质的的可定义性。
6，Flenner关于拟齐次奇点的结果。
7，Boutot定理。
8，广义Schubert流形上的圆锥。[Ke2]
选修本课程的学生要求熟悉代数几何和交换代数的基本知识。
[A-K] A. Altman, S. Kleiman. Introduction to Grothendieck duality theory. Springer-Verlag, 1970.
[Bou] J-F. Boutot. Singularit\’es rationelles et quotient par les groupes r\’eductifs // Invent.Math. 88, 65–68 (1987) .
[El] R. Elkik. Singularites rationelles et deformations // Invent. Math. 47,139–147 (1978).
[Fl] H. Flenner. Rationale quasihomogene Singularitaeten. //Arch. Math. 36(1), 35–44 (1981).
[G-R] H. Grauert, O. Riemenschneider. Verschwindungssaetze fuer analytische Kohomologiegruppen auf komplexen Raeumen // Invent. Math. 11, 263–292(1970).
[Ha] R.Hartshorne. Algebraic Geometry. Springer-Verlag, 1997.
[Ha2] R. Hartshorne. Residues and duality. Springer LNM 20, 1966.
[Ke] G. Kempf. Cohomology and convexity. // G.Kempf, F. Knudsen, D. Mumford, B. Saint-Donat. Toroidal Embeddings I. Springer LNM 339, Chap. I, \S 3, 49–52 (1973).
[Ke2] G. Kempf, A. Ramanathan. Multi-cones over Schubert Varieties. // Inv. Math. 87, 353–363 (1987).
[Ko] S. Kov\’acs. A Characterization of Rational Singularities. // Duke Math. J. 102(2), 187–191 (2000).
[V] E. Viehweg. Rational singularities of higher dimensional schemes. // Proc. Am. Math. Soc. 63, 6-8 (1977).
Kahler几何
1。一般复流形，Levi-Civita联络，Nyulendera-Nienhoysa定理。
2。Kahler流形，和乐群，Riemann流形的和乐群分类的Berger定理。
3。Riemann流形上的Hodge理论。
4。Kahler流形上的Hodge分解，小平邦彦比率，Lefschetz定理。
5。Kodaira-Nakano定理，嵌入的小平邦彦定理。
6。Calabi-Yau定理及其应用。
7。具有$ c_1 = 0 $的流形的Bogomolov结构定理。
8。小平邦彦的形变理论基础，空间形变的Bogomolov-Tian-Todorov定理，Calabi-Yau流形。
选修本课程的学生需要有光滑流形的知识，比如说上过“微分几何与拓扑学”这门课。
学习过de Rham上同调和代数几何引论课程会很有帮助，但是并非必须。
选修本课程的学生需要有光滑流形的知识，比如说上过“微分几何与拓扑学”这门课。
学习过de Rham上同调和代数几何引论课程会很有帮助，但是并非必须。
参考书目：
1，Griffiths、Harris，Principles of Algebraic Geometry，Wiley Interscience，1978。
2，A.S.Mishchenko，向量丛及其应用，科学出版社，1984。
3，A.Besse，Einstein Manifolds，Springer，1987。
4，D.Mumford，Algebraic Geometry I：Complex Projective Varieties，Springer，1976。
奇点理论、辛几何与接触几何
第一学期
光滑映射的奇点理论
1，函数与映射的临界点。
2，节空间与映射的芽，Sard定理，Thom横截性定理。
3，微分同胚群作用，奇点的分类，例子。
4，同伦方法，Morse引理。
5-6，局部代数奇点，映射的多样性。
7-8，分割定理，Malgrange定理。
9-10，奇点的形变，大范围定理，分岔图。
11，稳定性，无穷维稳定性。
12-13，函数的奇点的大范围形变与反演生成群。
14-15，Milnor纤维，消去同调，超曲面的奇点的消去同调。
16-17，满映射横截，分类。
第二学期
辛几何与接触几何
1-2，向量辛空间，Darboux定理。
3，Lagrangian子流形生成类，焦散与波前。
4-5，接触流形、Legendre子流形、接触生成类、波前。
6-7，Hamiltonian动力系统与光学的Lagrangian子流形、光学仪器、微分几何中的指数映射。
8，Hamilton-Jacobi方程解的奇点。
9-10，微分几何中的Lagrangian和Legendre奇点的例子。
11-12，焦散与波前博的分岔、向量场、自由因数、例子。
13-14，在流体力学中的应用、辛流形与接触流形中的不变量。
15-17，辛拓扑基础。
1，V.I.Arnold、A.N.Varchenko、S.M.Husein-Zade，可微映射的奇点理论，科学出版社，1986。
2，V.I.Arnold，Singularities of Caustics and Wavefronts，Kluwer，1990。
3，V.I.Arnold，经典力学的数学方法，科学出版社，第三版，1989。
4，M.Golubitsky、B.Guillemin，Stable Mappings and Their Singularities，Springer，1973。
Gromov-Witten不变量与量子上同调
1，Gromov-Witten不变量的几何定义，量子上同调环。
2，Grassman流形的量子上同调，Lagrange与正交Grassman流形。
3，任意群的Grassman流形的量子上同调。
4，Gromov-Witten不变量的公理化分析，曲面的映射的模空间，位势。
5，Gromov-Witten不变量的公理化定义，超越不变量。
6，Lefschetz弱定理，完全相交的Gromov-Witten不变量。
7，正分类不变量，强量子上同调。
1，Yuri Manin，Frobenius Manifolds，Quantum Cohomology and Moduli Spaces，AMS。
2，A.Beauville，Quantum Cohomology of Complete Intersections，preprint，alg-geom/9501008。
3，A.S.Buch、A.Kresch、H.Tamvakis，Gromov-Witten Invariants on Grassmannians，preprint，math.AG/0306388。
4，A.Gathmann，Absolute and relative Gromov-Witten invariants of very ample hypersurfaces，preprint，math.AG/0009190。
5，M.Kontsevich、Yuri Manin，Gromov-Witten Classes，Quantum Cohomology and Enumerative Geometry，Commun.Math.Phys. 164 (1994) 525-562。
量子场论
1，数学物理回顾，分析力学，集合光学与变分法，量子力学与波动光学。
2，量子力学中的准经典渐进方程，复芽的Maslov定理，Fourier积分算子，拟微分算子与Weyl运算。
3，经典场论与多维变分法。
4，泛函积分，路径积分与量子力学。
5，Gauss泛函积分，Boson与grassman情形。
6，空间曲面上的二次量子化。
7，Vika定理，Feymann图与摄动理论。
8，量子场论中的算子代数。
9，共形场论的Gauss模型。
10，Bogolyubov-Parasyuk定理。
11，Hamilton方法，复芽方法，量子场论中的准经典动力学演化。
12，重整化与重整化群，场论中的模空间的临界曲面与不动点。
13，Callan–Simanchik方程，Virasoro代数与不动点。
14，Virasoro代数的表示与共形场论。
Quantum Field Theory
1，N.N.Bogolyubov、D.V.Shirkov，量子场论引论，科学出版社。
2，N.N.Bogolyubov、D.V.Shirkov，量子场论，科学出版社。、
3，V.P.Maslov、O.Yu.Shvedov，多体问题与量子场论中的复芽方法，URSS。
4，A.V.Stoyanovsky，量子场论中的数学原理引论，URSS。
5，C.Itzykson、H.Saleur、J-B.Zuber，Conformal Invariance and Applications toStatistical Mechanics，World Scientific。
6，C.Itzykson、J-B.Zuber，Quantum Field Theory，McGraw-Hill。
7，R.Ticciati，Quantum Field Theory For Mathematicians，Cambridge UniversityPress。
Introduction to algebraic geometry
1 。 Projective cone line, projective quadric surfaces.
2 。 Grassman space and Grassman clusters.
3 。 Affine algebraic varieties, to define the ideal, regular functions, the morphisms.
4 。 Hilbert nullstellensatz, affine algebraic varieties and areas of limited non-nilpotent algebra of the dual.
5 。 Zarisky topology is irreducible nest, algebraic decomposition into irreducible components mounting.
6 。 Die dominated morphisms theorem, rational functions and mappings.
7 。 The direct product of algebraic mounting. Probability and geometry of the ring homomorphism
8 。 Dimensions,Krull theorem, the dimension theorem for morphisms.
9 。 Tangent spaces and mappings, smooth and singularity.
10 。 Finite morphisms, formal cluster.
11 。 The general concept of algebraic variety, projective variety and its completeness.
12 。 Plane projective algebraic curve intersects the plane projective algebraic curve,Bezout theorem.
13 。 Projective algebraic plane curve singularity and duality,Pluecker formula.
14 。 Rational curves,Veronese curve, cubic curves.
15 。 Curves on surfaces, smooth cubic surface 27 line problem.
16 。 Vector bundles and their cross-layer, vector bundles on projective algebraic curves.
17 。 Reversible floor,Picard Group of line bundles on affine and projective spaces.
18 。 The tangent bundle and cotangent bundle, bundle, and Yu Zheng, Plexus,Euler exact sequence.
19 。 Singularities and conical surfaces.
20 。 Complex projective algebraic curve,Serre duality,Riemann-Roch theorem.
1 , I.R.Shafarevich Basic algebraic geometry, volume I, science press, 1988 。
2 , J.G.Semple 、 L.Roth , Introduction to Algebraic Geometry , Oxford UniversityPress , 1986 。
3 , V.L.Danilov Algebraic manifolds and almost all Russian Institute of scientific and technical information, 1988 。
4 , C.H.Clemens , A Scrapbook of Complex Curve Theory , Plenum Press , 1980 。
5 , X.Kraft , Method of geometric invariant theory, MIR Publishing House, 1987 。
6 , M.Reid , Undergraduate Algebraic Geometry , Cambridge University Press , 1988 。
7 , E.B.Vinberg 、 A.L.Onischik , Lie Groups and algebraic groups, science press, 1988 。
Rational Singularity
1 , Morphisms, Grothendieck Dual.
2 , Grauert-Riemenschneider Theorem.
3 , The rational judgment of the singularity, Kempfa Kovacs Criterion.
4 , Elkik Theorem.
5 Flat morphisms, a rational form around the nature of the definition of the singularity.
6 , Flenner Results of singularities to be homogeneous.
7 , Boutot Theorem.
8 General Schubert Cone on the manifold. [Ke2]
Take this course students are required to be familiar with algebraic geometry and commutative algebra basics.
[A-K] A. Altman, S. Kleiman. Introduction to Grothendieck duality theory. Springer-Verlag, 1970.
[Bou] J-F. Boutot. Singularit\’es rationelles et quotient par les groupes r\’eductifs // Invent.Math. 88, 65–68 (1987).
[El] R. Elkik. Singularites rationelles et deformations // Invent. Math. 47,139-147 (1978).
[Fl] H. Flenner. Rationale quasihomogene Singularitaeten. Arch. Math. 36 (1), 35–44 (1981).
[G-R] H. Grauert, O. Riemenschneider. Verschwindungssaetze fuer analytische Kohomologiegruppen auf komplexen Raeumen // Invent. Math. 11, 263–292 (1970).
[Ha] R.Hartshorne. Algebraic Geometry. Springer-Verlag, 1997.
[Ha2] R. Hartshorne. Residues and duality. Springer LNM 20, 1966.
[Ke] G. Kempf. Cohomology and convexity. G.Kempf, F. Knudsen, D. Mumford, B. Saint-Donat. Toroidal Embeddings I. Springer LNM 339, Chap. I, \S 3, 49–52 (1973).
[Ke2] G. Kempf, A. Ramanathan. Multi-cones over Schubert Varieties. Inv. Math. 87, 353–363 (1987).
[Ko] S. Kov\’acs. A Characterization of Rational Singularities. Duke Math. J. 102(2), 187–191 (2000).
[V] E. Viehweg. Rational singularities of higher dimensional schemes. Proc. Am. Math. Soc. 63, 6-8 (1977).
Kahler
1 。 Generalized complex manifolds,Levi-Civita contactNyulendera-Nienhoysa theorem.
2 。 Kahler manifolds, and music group,Riemann manifolds and classification of Berger theorem.
3 。 Riemann manifold of Hodge theory.
4 。 Kahler manifolds of the Hodge decomposition, xiaopingbangyan ratio,Lefschetz theorem.
5 。 Kodaira-Nakano theorems of embedding theorem of xiaopingbangyan.
6 。 Calabi-Yau theorem and its applications.
7 。 $ C_1 = 0 $ manifold Bogomolov structure theorem.
8 。 The deformation theory of xiaopingbangyan, space deformation of Bogomolov-Tian-Todorov theoremCalabi-Yau manifold.
Students who take this course need to have knowledge of smooth manifolds, for example, went to ” Differential geometry and topology ” This course.
de Rham With reconciliation on an introduction to algebraic geometry course can be helpful, but not necessary.
Students who take this course need to have knowledge of smooth manifolds, for example, went to ” Differential geometry and topology ” This course.
de Rham With reconciliation on an introduction to algebraic geometry course can be helpful, but not necessary.
Bibliography:
1 , Griffiths 、 Harris , Principles of Algebraic Geometry , Wiley Interscience , 1978 。
2 , A.S.Mishchenko , Vector bundles and applications, science press, 1984 。
3 , A.Besse , Einstein Manifolds , Springer , 1987 。
4 , D.Mumford , Algebraic Geometry I : Complex Projective Varieties , Springer , 1976 。
Singularity Theory, Symplectic and contact geometry
The first semester
Theory of singular points of smooth maps
1 , And mapping of critical points of the function.
2 , Space and mapping of buds, Sard Theorem Thom Transversality theorem.
3 , A Diffeomorphism Group action, the classification of singularities, for example.
4 , Homotopy method Morse Lemma.
5-6 Locally algebraic singularities, mapping diversity.
7-8 , Division theorem, Malgrange Theorem.
9-10 , Singularity, the deformation law of large scope, the bifurcation diagram.
11 Stability, stability of infinite-dimensional.
12-13 , Large deformation of the singularities of the function and inversion group.
14-15 , Milnor Fiber, eliminating coherence, elimination of hypersurface singularities homology.
16-17 Full mapping cross section classification.
The second semester
Symplectic and contact geometry
1-2 , A vector space, Darboux Theorem.
3 , Lagrangian Submanifolds generate classes, caustics and wave-front.
4-5 And contact manifolds, Legendre Submanifolds and contact classes, the wave front.
6-7 , Hamiltonian Dynamical systems and optical Lagrangian In the differential geometry of submanifolds, optical instruments, the exponential map.
8 , Hamilton-Jacobi Equations with singularities.
9-10 , In differential geometry Lagrangian Legendre Examples of singular points.
11-12 , Caustics and wave-front blog bifurcation, vector field, the free factor, example.
13-14 And application of fluid mechanics, Symplectic manifolds and invariant of contact manifolds.
15-17 , Symplectic basis.
1 , V.I.Arnold 、 A.N.Varchenko 、 S.M.Husein-Zade , Theory of singularities of differentiable maps, science press, 1986 。
2 , V.I.Arnold , Singularities of Caustics and Wavefronts , Kluwer , 1990 。
3 , V.I.Arnold , Mathematical methods of classical mechanics, science press, third edition, 1989 。
4 , M.Golubitsky 、 B.Guillemin , Stable Mappings and Their Singularities , Springer , 1973 。
Gromov-Witten Invariants and quantum cohomology
1 , Gromov-Witten Invariant geometric definition of quantum cohomology ring.
2 , Grassman The quantum cohomology of the manifold, Lagrange With the orthogonal Grassman Manifold.
3 Any group Grassman The quantum cohomology of the manifold.
4 , Gromov-Witten Axiomatic analysis of invariants, Moduli Spaces of surface mapping, and potential.
5 , Gromov-Witten The axiomatic definition of invariants, beyond the invariants.
6 , Lefschetz Weaker theorems, completely intersect Gromov-Witten The invariant.
7 Are classification variables, the strong quantum cohomology.
1 , Yuri Manin , Frobenius Manifolds , Quantum Cohomology and Moduli Spaces , AMS 。
2 , A.Beauville , Quantum Cohomology of Complete Intersections , preprint , alg-geom/9501008 。
3 , A.S.Buch 、 A.Kresch 、 H.Tamvakis , Gromov-Witten Invariants on Grassmannians , preprint , math. AG/0306388。
4 , A.Gathmann , Absolute and relative Gromov-Witten invariants of very ample hypersurfaces , preprint , math. AG/0009190。
5 , M.Kontsevich 、 Yuri Manin , Gromov-Witten Classes , Quantum Cohomology and Enumerative Geometry , Commun.Math.Phys. 164 (1994) 525-562。
Quantum field theory
1 , Review of mathematics and physics, analytical mechanics, collection optics and calculus, quantum mechanics and wave optics.
2 , The classical asymptotic equations in quantum mechanics, complex shoot Maslov Theorem Fourier Integral operators, and pseudodifferential operators Weyl Operation.
3 Classical field theory and multidimensional variational method.
4 , Functional integration, path integrals and quantum mechanics.
5 , Gauss Functional integrals, Boson grassman Case.
6 Space on the surface of the second quantized.
7 , Vika Theorem Feymann And perturbation theory.
8 Quantum field theory of operator algebras.
9 Conformal field theory Gauss Models.
10 , Bogolyubov-Parasyuk Theorem.
11 , Hamilton Method of multiple bud method, classical dynamics in quantum field theory.
12 , Renormalization and renormalization group, field theory of moduli spaces of critical surfaces and fixed points.
13 , Callan–Simanchik Equation Virasoro Algebra and fixed points.
14 , Virasoro Algebra and field theory.
Quantum Field Theory
1 , N.N.Bogolyubov 、 D.V.Shirkov , An introduction to quantum field theory, science press.
2 , N.N.Bogolyubov 、 D.V.Shirkov Quantum field theory, science press. 、
3 , V.P.Maslov 、 O.Yu.Shvedov And many-body problem in quantum field theory and method of complex buds, URSS 。
4 , A.V.Stoyanovsky , Introduction to mathematical principle in quantum field theory, URSS 。
5 , C.Itzykson 、 H.Saleur 、 J-B. Zuber,Conformal Invariance and Applications toStatistical Mechanics,World Scientific。
6 , C.Itzykson 、 J-B. Zuber,Quantum Field Theory,McGraw-Hill。
7 , R.Ticciati , Quantum Field Theory For Mathematicians , Cambridge UniversityPress 。
Serendipities 